Yield curves en rentegevoeligheid - het venijn zit hem in de staart
Inleiding
In dit artikel ga ik kort in op yield curve interpolatie en bepaling van rentegevoeligheid. Ik beschrijf de door mij geprefereerde methode en vergelijk die met een alternatieve methode die ik wel eens tegenkom in de praktijk. Deze alternatieve methode schiet, in mijn optiek, op een aantal punten, tekort. Dit komt door een inconsistente toewijzingsmethode van rentegevoeligheid naar looptijdpunten van de yield curve. Daardoor onderschat deze methode de rentegevoeligheid op het 50 jaars punt van de yield curve. Door middel van enkele kwantitatieve analyses laat ik zien dat de P&L van een afdekkingsstrategie gebaseerd op die alternatieve methode achterblijft bij de door mij geprefereerde methode.
Interpolatie van yield curves en rentegevoeligheid
Over interpolatie methodieken van swap yield curves zijn veel artikelen beschikbaar. Persoonlijk vind ik het overzicht van Hagan en West[1] erg bruikbaar. In dit overzichtsartikel wordt voor een aantal interpolatiemethoden bepaald in hoeverre ze gewenste eigenschappen bezitten zoals ‘smooth’ forward rentes (e.g. 6 maand forward rentes), stabiliteit van forward rentes, lokale impact van veranderingen in input rentes en stabiliteit van hedges. Er bestaat geen perfecte interpolatiemethode die op alle fronten het beste scoort, maar mijn voorkeur gaat uit naar een interpolatiemethode gebaseerd op Bezier splines omdat deze methode in voldoende mate de gewenste eigenschappen bezit en het daarbij aanzienlijk beter doet dan alternatieven zoals lineaire interpolatie en licht beter dan interpolatie o.b.v. natural cubic splines. De Bezier spline passen we toe op de log van discount factoren. De natural cubic splines methode, welke bijvoorbeeld beschikbaar is in systemen zoals Bloomberg, is ook prima verdedigbaar, maar bij deze methode is de impact van veranderingen in input rentes verspreid over een groter aantal punten op de curve.
De rentegevoeligheden van bijvoorbeeld een set aan kasstromen kunnen analytisch berekend worden. Tijdens curve constructie wordt dan een Jacobiaan bepaald die, voor alle discountfactoren op de curve punten van een yield curve, de gevoeligheid naar de input rentes weergeeft. Voor een willekeurige kasstroom op een datum t kan vervolgens, op het moment dat dat vereist is, bepaald worden wat de gevoeligheid is van die kasstroom naar de discountfactoren op de curve punten van de yield curve. Met de opgeslagen Jacobiaan kan dat omgezet worden naar de gevoeligheid naar de verschillende input rentes.
De rentegevoeligheden kunnen ook berekend worden door de rente van elk instrument van de yield curve afzonderlijk omhoog en omlaag te schokken met bijvoorbeeld 1 basispunt, de waarde van de kasstromen te berekenen in beide scenario’s en het verschil te delen door 2.
Als we de VPV kasstromen van een gemiddeld, maar fictief, pensioenfonds nemen en de rentegevoeligheid bepalen met behulp van een swap curve per 31/12/2019 die gebouwd is met 17 liquide input instrumenten (welke ook voorgeschreven worden door DNB) en de Bezier interpolatiemethode dan komen we op onderstaand rentegevoeligheid (DV01) profiel uit:
De contante waarde van deze kasstromen volgens de gebruikte swap curve is 6,418 mld euro. De totale DV01 is 16,69 mln euro.
Het is echter weinig zinvol om te sturen op 17 punten. Enerzijds omdat de verplichtingen van een pensioenfonds voornamelijk rentegevoelig zijn vanaf een jaar of 10. Anderzijds omdat dat veel onderhoud (en dus kosten) vergt aan de afdekking. 9 punten is een mooi compromis. Een paar punten aan het korte einde van de curve zodat voldoende inzichtelijk gemaakt kan worden waar de rentegevoeligheid zit van vastrentende instrumenten zoals obligaties en hypotheken en een goede verdeling van punten over de rest van de curve zodat een accuraat beeld van de risico’s van langlopende verplichtingen geschetst wordt. Dat ziet er dan als volgt uit in mijn voorbeeld:
Alternatieve methode om rentegevoeligheid te bepalen
Ik kom in de praktijk wel eens een andere methode tegen om de rentegevoeligheid te bepalen. Deze methode leidt tot een onderschatting van de rentegevoeligheid op het 50 jaars punt. Deze onderschatting zorgt er voor dat pensioenfondsen vaker zullen moeten bijsturen en dus meer transactiekosten moeten maken.
Bij deze alternatieve methode wordt ook gebruik gemaakt van een Bezier of cubic spline om op basis van 17 input instrumenten een curve te construeren. Daarna wordt voor 100 renteswaps (van 1 t/m 100 jaar) de swaprente bepaald op basis van de eerder geconstrueerde curve. Met deze 100 renteswaps wordt een tweede curve geconstrueerd. Voor een set van kasstromen wordt vervolgens de rentegevoeligheid naar deze 100 renteswaps bepaald. Onderstaand beeld ontstaat dan:
De contante waarde van de kasstromen volgens de ‘100 swaps’ curve is 6,418 mld euro. Totale DV01 is 16,69 mln euro. In de verdere decimalen zitten verschillen met de contante waarde volgens de ’17 swaps’ curve, maar we kunnen constateren dat het beeld tot hier er goed uit ziet.
In de volgende stap echter worden de 100 rentegevoeligheden lineair toegewezen aan de 9 liquide looptijdpunten. In deze laatste stap ontstaat een inconsistentie. Door de rentegevoeligheden lineair te alloceren wordt er in feite ge?mpliceerd dat de swapcurve geconstrueerd is door swap rentes lineair te interpoleren. De rentegevoeligheid van bijvoorbeeld een at-market 35 jaar swap wordt op deze manier alleen gealloceerd naar het 30 jaars punt en naar het 40 jaars punt. Intu?tief misschien, maar niet consistent want er wordt wel een bezier of cubic spline gebruikt voor de waardering van deze swap. Daardoor hebben bijvoorbeeld het 25 jaars punt en het 50 jaars punt ook een impact op de waarde van die swap. Die impact is kleiner dan van het 30 jaars punt en het 40 jaars punt, maar niet te verwaarlozen.
Onderstaand beeld laat zien hoe de lineair, naar 9 looptijdpunten, toegewezen rentegevoeligheden in mijn voorbeeld er uit zien. De totale DV01 is nog steeds 16,69 mln euro, maar duidelijk waarneembaar is dat er aanzienlijk minder rentegevoeligheid op het 50 jaars punt terecht komt.
Backtest van beide methoden
Hoe vervelend is het dat de allocatie naar de 9 liquide looptijdpunten anders is onder deze alternatieve methode dan onder mijn voorkeursmethode? Zoals eerder aangeven zorgt dit er voor dat pensioenfondsen achter de feiten aan lopen bij renteveranderingen, daardoor vaker zullen moeten (laten) bijsturen en dus meer transactiekosten moeten maken.
Ik heb een backtest gedaan waarbij de rentecurve per eind 2019 gebruikt is om een 100% VPV afdekking bestaande uit alleen renteswaps te bepalen volgens de geprefereerde methode en volgens de alternatieve toewijzingsmethode. Ik heb 262 simulaties van dagelijkse renteveranderingen (31/12/2018-31/12/2019) gedaan. De curve per 31/12/2019 is telkens opnieuw geschokt met de dagelijkse veranderingen in renteniveaus die op één van de 262 dagen opgetreden zijn.
In onderstaande grafiek is de verandering in waarde van verplichtingen inclusief hedge t.o.v. de uitgangswaarde per 31/12/2019 weergeven. De waarde op de y-as geeft de P&L in een scenario weer van de voorgestelde hedge t.o.v. wat benodigd was om de waardeverandering van de verplichtingen te matchen.
Duidelijk waarneembaar is dat de alternatieve hedge aanzienlijk grotere afwijkingen laat zien dan de geprefereerde hedge. De geprefereerde hedge laat ook wat ruis zien, maar dat komt voornamelijk vanwege de keuze om niet op 17 looptijdpunten maar op 9 looptijdpunten renteswaps af te sluiten. De standaard afwijking van de alternatieve hedge is in deze analyse met 375k euro per dag meer dan het dubbele van de standaard afwijking van de geprefereerde hedge (158k euro).
Om mijn punt nog wat duidelijker te maken heb ik ook twee scenario’s gedefinieerd waarbij in scenario 1 de curve per 31/12/2019 met 50 bps naar beneden geschokt is en in scenario 2 met 50 bps naar boven geschokt is. De P&L van de geprefereerde hedge (t.o.v. wat benodigd is om de waardeverandering van de verplichtingen te matchen) bedraagt in deze scenario’s respectievelijk -366k euro en -650k euro. De P&L van de alternatieve hedge bedraagt respectievelijk -1,6 mln euro en -2,1 mln euro.
Conclusie
Hoewel de totale rentegevoeligheid van de alternatieve hedge gelijk is aan die van de door mij geprefereerde hedge, zorgt de inconsistente lineaire toewijzingsmethode er voor dat er meer ruis ontstaat t.o.v. de verplichtingen. Doordat de alternatieve methode te weinig rentegevoeligheid aan het 50 jaars punt toewijst, ontstaat er een tekort aan convexiteit dat er voor zorgt dat de P&L van de alternatieve hedge achterblijft bij grotere (parallelle) rentebewegingen. De nadelen van deze alternatieve methode moeten niet overdreven worden, maar aangezien het wiskundig niet complex is om een toewijzingsmethode te hanteren die consistent is met de interpolatiemethode, zou ik marktparticipanten adviseren om hun methoden nog eens goed tegen het licht te houden. Pensioenfondsen zullen daarbij gebaat zijn omdat er minder vaak bijgestuurd hoeft te worden en onverklaarbare waardeveranderingen van de matching portefeuille versus de verplichtingen gereduceerd worden.
[1] https://web.math.ku.dk/~rolf/HaganWest.pdf
SimCorp Dimension Specialists Team Lead & Project Manager
4 年Also a nice article from JPMorgan regarding linearly interpolated shock structure to be used for Key Rate Durations in LDI hedging process: https://www.pionline.com/assets/docs/CO7299731.PDF
SimCorp Dimension Specialists Team Lead & Project Manager
4 年Great article, Erik-Jan, with very detailed analysis. Thank you a lot! The described Alternative method looks interesting to me. It reminds me the old methodology, when all assets and liability cash flows were mapped/distributed linearly to/between chosen 9 liquid term points/buckets (i.e. in such case 35Y swap cash flow would indeed be split between 30Y and 40Y liquid term points only). Such method, of course, would not provide the accurate results, because the assets and liabilities cash flows in reality have the payment dates, which do not coincide with the chosen 9 liquid term points. The Alternative method, described in article, involves the cash flows' sensitivity measurement towards 100 swap terms, and only afterwards those sensitivities are allocated to the chosen 9 liquid term points. In my practice, I didn't meet such Alternative method implemented in LDI engines, however there may be indeed many methods proposed of how to get the reliable LDI results. I also read Hagan / West article, which you mentioned, and agree that interpolation method (linear, splines, monotone convex.) should be chosen together with YC valuation principle (e.g. bootstrap, UFR, etc.) - and together they provide the final estimated zero coupon YC . In the same time, indeed, there is a wide variety of interpolation methods with own pros and cons. A summary table with comparison is provided in the mentioned Hagan / West article on page 79. According to this article the monotone convex (unameliorated version) method is the optimal one (which is probably available in SimCorp Dimension). In the Hagan/West article I didn't notice B-spline method (only quadratic and cubic splines). However, I assume the B-spline results should be comparable to natural cubic spline results, which are less optimal than Monotone convex (unameliorated version) method (according to Hagan/West article). Also, interesting statement is made regarding the mentioned 35Y swap: you mentioned that such swap should obviously contribute into 50Y liquid term point sensitivity. In general, I met 2 approaches in LDI and YC shocks theory: "Approach 1)" - when the final estimated zero coupon curve is shocked, and "Approach 2)" - when swap par rates are shocked and then a new (shocked) YC is re-estimated (based on shocked swap par rates). Both approaches have arguments to exist. In case of 1) approach the 35 Y swap would not be sensitive to 50Y liquid term point shock, because 40Y liquid term point already exists/is chosen (whereas the Key Rate Duration (KRD) related shocks at liquid term points are expected to be independent). Therefore, according to 1) approach, for example, the 35Y zero coupon swap would contribute only to 30Y and 40Y liquid term points. In case 35Y swap would have non-zero coupons - they would also contribute to earlier liquid term points (i.e. <= 40Y). This approach sounds logical to me: in case we have 35Y zero coupon asset bond then, taking into account that KRD shocks are expected to be independent for our chosen 9 liquid term points shock structure, I would not expect such 35 Y zero coupon bond to be sensitive to 50Y liquid term point (as the result it would not expect to contribute to 50Y liquid term point KRD). For "Approach 1)" often the linear interpolation is used in order to construct the shock structure (with independent shocks for each of 9 liquid term points). However, it doesn't mean that YC itself (to which such linear shock structure is applied) becomes linearly interpolated: the linear shock structure is applied to non-linear estimated zero coupon YC rates. As the result, we will get the non-linear shocked estimated zero coupon curve. The advantages of "Approach 1)" : 1) it keeps KRD shocks (applied to liquid term points) independent (as it should be according to KRD definition) 2) a sum of KRDs stays close to dollar duration (or modified duration) as it should be according to KRD purpose & definitions: a sum of linear shocks result in the total parallel shock/shift, which is used in dollar/modified duration definition If "Approach 2)" is chosen: in such case the swap par rates are shocked before YC zero coupon rates get estimated, what means that shocks, applied to liquid term points e.g. 2Y and 5Y, potentially can also have impact on 35Y zero coupon bond. Besides, if we add B-spline interpolation method - then 50Y point sensitivity could also get affected. For example, "Approach 2)" often is used for UFR curve, because UFR transformation changes the market swap curve - consequently, the results in case of "Approach 1)" and "Approach 2)" might differ significantly for UFR curve case. The advantages of "Approach 2)": 1) provides more realistic results in case of UFR curve (which differs from the "market swap curve" - based hedge) 2) apply shocks directly to swap par rates instead of final estimated zero coupon curve (whereas swap par rates are indeed the initial raw market data to be affected by shocks) For "Approach 2" we still might apply linearly interpolated shock structure (based on 9 liquid term points) to 17 key swap par rates, whereas the re-estimated YC itself doesn't have to use linear interpolation. To conclude: 1) There are indeed many interpolation methods. Probably Monotone convex (unameliorated version) method is even more optimal than proposed Bezier spline interpolation method (according to Hagan/West article) 2) Linear interpolation for shock structure (i.e. of independent shocks across chosen 9 liquid term points) looks like a reasonable choice to me, because A) YC itself might still use the non-linear interpolation method for estimation of zero coupon rates B) linearly interpolated shock structure is aggregated to the resulting total parallel shift/shock, which is necessary in order to ensure that 9 Key Rate durations would sum up to the total dollar / modified duration (according to definition of KRD and dollar/modified duration), whereas dollar/modified duration is based on the parallel shift/shock by definition C) it ensures that shocks, applied to 9 liquid term points, stay independent (according to classical definition of KRD): for example, in case we have 30Y, 40Y, 50Y liquid term points among 9 liquid term points -then 35Y zero coupon asset bond should not be expected to contribute to KRD of 50Y liquid term point D) linear shock structure should not underestimate 50Y KRD, because the linear shock structure for 50Y liquid term point would look like: [0bp shock at 40Y; linear interpolation;1bp shock at 50Y; 1bp constant shock for all YC points after 50Y], providing the independency of 50Y shock with other shocks, applied locally to the rest of 8 liquid term points 3) Linearly interpolated shock structure may be applied to the final estimated YC zero coupon rates (Approach 1) or to the swap par rates "Approach 2" before YC re-estimation. However, "Approach 2" usually gets considered for UFR case (which is not market curve based hedge) 4) In case the dependent shocks are expected to be used across 9 liquid term points: for example, 35 zero coupon asset bond is expected to be sensitive to 50Y liquid term point (taking into account that 40Y liquid term point exists) - then the correlation matrix would be required and, as the result, it would rather result into a specific stress test scenario than the independent classical KRDs for standard LDI process 5) It should be possible to reconstruct "Approach 1)" and "Approach 2" in Dimension
SimCorp Dimension specialist bij CACEIS bij CACEIS
5 年John menger
Head Euro Swaps bij Rabobank Utrecht
5 年Interressante analyse Erik-Jan. Wat wellicht ook wat meer houvast voor de toekomst gaat bieden is het feit dat overheden zich de laatste jaren meer en meer op dit punt van de curve laten zien. Hierdoor onstaat er meer liquiditeit en zal daardoor ook de voorspelbaarheid van ultra verre curve-punten beter kunnen worden voorspeld.
Helping Private Clients, Corporates and Financial Institutions to trade, store and manage crypto assets at Amdax. We offer both passive and active crypto asset management strategies.
5 年Supergoed stuk en helder verwoord ook! Hoop dat de industrie lering trekt uit dit stuk. Daar zouden de betrokkenen zowel letterlijk als figuurlijk wijzer van worden.