Sobre la pedagogía en las matemáticas

En el artículo anterior, tratamos el tema del balance entre el rigor y la intuición en las matemáticas, expresados por Weierstrass y Riemann como máximos exponentes en el último tiempo, respectivamente. Esto es algo que pude absorber de manera contundente en las clases de ciencia de datos del Colegio de Matemáticas Bourbaki junto al profesor Carlos Ruiz . Creo que coincidirá con lo que describiremos en este pasaje sobre la pedagogía en el ambito matemático.

La intuición desempe?a un papel fundamental en la pedagogía matemática al conectar el mundo abstracto de los conceptos matemáticos con la comprensión tangible y cotidiana de los estudiantes. En el contexto educativo, la intuición puede ser vista como un puente que une la abstracción inherente de las matemáticas con la experiencia concreta de los estudiantes, permitiéndoles no solo comprender conceptos abstractos, sino también aplicarlos de manera efectiva en situaciones del mundo real. A través de estrategias pedagógicas que fomentan la exploración, el razonamiento y la resolución de problemas, se busca cultivar y nutrir la intuición matemática de los estudiantes, capacitándolos para abordar desafíos matemáticos con confianza y creatividad. En este sentido, la integración de la intuición en la ense?anza de las matemáticas no solo enriquece la experiencia educativa, sino que también allana el camino para un aprendizaje más profundo y significativo.

Para tratar el tema de la pedagogía en las matemáticas, transcribiremos parte del libro Felix Klein: una nueva visión de la geometría escrito por Roberto Rodríguez del Río editado por RBA.

Felix Christian Klein vivió en la segunda mitad del siglo XIX y comienzos del XX, una época en la que las matemáticas, sumergidas en un proceso de transformación plena, dejaban atrás la visión clásica e individualista de Newton, Leibniz y Gauss. Una de las contribuciones fundamentales de este matemático alemán fue el programa de Erlangen, en el que, utilizando el concepto de grupo creado por évariste Galois, desarrolló un nuevo marco para la geometría. Klein reunía las dotes de científico, organizador, escritor y trabajador incansable, aunque fue, sobre todo, un excelente profesor que siempre se preocupó por la forma de mejorar la ense?anza de las matemáticas.

La transcripción del texto comienza aquí, tratando de ser lo más fiel posible.

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Los dos primeros volúmenes de Matemática elemental desde un punto de vista superior están basados en unos cursos que Klein dio en 1895 a profesores de matemáticas de los Gymnasium alemanes y el tercero en un curso que también impartió a docentes de matemáticas, pero esta vez durante el verano de 1901. En la introducción que el propio Klein escribió para el primer volumen de 1908, se puede encontrar un esbozo de cómo entendía la conexión entre la ense?anza secundaria y la universitaria:

En los últimos a?os ha crecido el interés de los profesores de matemáticas y ciencias naturales de las universidades en relación con la formación apropiada de los aspirantes a ocupar puestos académicos más elevados. Este es un fenómeno bien reciente. Durante un largo período de antes de su aparición, los académicos se han preocupado únicamente por su rama del saber, sin importarles nada las necesidades de las escuelas e incluso sin interesarse por establecer un nexo de unión con las matemáticas escolares. ?Cuál ha sido la consecuencia de esta forma de proceder? El joven estudiante universitario se va confrontando, al comenzar sus estudios, con problemas que no guardan relación con las cosas que eran importantes en la escuela. Y, en consecuencia, se olvida pronto y por completo de todas ellas. Pero después de terminar sus estudios pasa a ser profesor y entonces se ve obligado de pronto a ense?ar las tradicionales matemáticas elementales de la antigua forma pedante; y como sin ayuda no es capaz de encontrar un nexo que ponga en relación esa tarea con las matemáticas universitarias, pronto cae en una forma de ense?ar avalada por el tiempo, y sus estudios universitarios pasan a ser un recuerdo más o menos agradable pero que no ejerce influencia en su ense?anza.

Cuesta creer que estas palabras fueran escritas hace más de un siglo, ya que parecen describir una problemática de la conexión entre la ense?anza de las matemáticas en diferentes niveles que resulta bastante actual y que sigue sin ser resuelta.

He aquí un ejemplo que quizá pueda ayudar a entender cuál era la crítica de Klein al estado en que se encontraba la ense?anza de la matemática en la época. Se trata de un fragmento donde se explica el enfoque que habría que dar a la ense?anza de uno de los pilares básicos de las matemáticas, los números:

Por ejemplo, si al ni?o se le explican los números axiomáticamente, como entes abstractos, sin contenido, con los cuales se puede operar según ciertas reglas, le será imposible entender. Por el contrario, el ni?o asocia los números con imágenes concretas. Hay números de nueces, de manzanas, y de otras cosas buenas, y al principio solo pueden y deben presentársele bajo esta forma tangible. [...] Las matemáticas deben estar asociadas a todo aquello que interese seriamente al alumno en cada momento concreto de su desarrollo.

Sin embargo, a pesar de estas lecciones de Klein, desde entonces hasta la actualidad, una y otra vez, en diferentes sistemas educativos y en diferentes épocas, se ha vuelto a cometer el error de ense?ar matemáticas con un enfoque abstracto a ni?os y jóvenes, antes incluso de utilizar ideas intuitivas. Por ejemplo, durante la década de los setenta, en varios países europeos se introdujo en la ense?anza elemental la llamada ?matemática moderna?, la teoría de conjuntos. Los ni?os de seis a?os aprendían sobre elementos, conjuntos, uniones e intersecciones, cuando deberían haberse dedicado a aprender a contar, a utilizar los números, a identificar figuras geométricas y a relacionarlas con el mundo que les rodeaba. Un punto de vista que hubiera sido considerado una aberración por alguien como Klein en la Gotinga en la que, por poner un ejemplo, su predecesor, el gran Gauss, quizás uno de los matemáticos con un mayor número de aportaciones a la ciencia, no conocía esos conceptos porque se inventaron mucho después.

Klein, hablando sobre este tema, después de recomendar la lectura del primer libro en el que se recoge de manera sistemática la teoría de conjuntos, La teoría de conjuntos de puntos, de su alumna Grace Chisholm y su marido, el también matemático William H. Young, escribía:

?Qué parte de lo anterior puede ense?arse en los colegios? Desde el punto de vista de la pedagogía matemática debemos, por supuesto, protestar ante la posibilidad de presentar cosas tan difíciles y abstractas a los alumnos demasiado pronto. Para precisar bien mi opinión en este punto he de recordar la ley fundamental biogenética, según la cual el individuo en su desarrollo recorre en rápida sucesión todos los estados en el desarrollo de las especies... Pienso que, en la ense?anza de las matemáticas, al igual que en cualquier otra disciplina, se debe seguir esta ley, al menos en su forma general. Teniendo en cuenta la habilidad natural de la juventud, la ense?anza debe guiarles lentamente hasta llegar a los temas más difíciles y, finalmente, a las formulaciones más abstractas; y haciendo esto se seguirá el mismo camino por el que la raza humana ha ascendido desde su estado primitivo original a formas superiores del conocimiento.

Los capítulos del libro Matemática elemental desde un punto de vista superior están escritos a partir de las clases que impartía Klein. Para ello, el matemático solía encargar su transcripción a alguno de sus numerosos alumnos universitarios y colaboradores y, a pesar de las correcciones y las lógicas adaptaciones de estilo, su lectura respira la frescura de una clase en directo. Son una especie de grabación de esos momentos en los que Klein ejercía como el excelente profesor que fue durante toda su vida.

[...]

Aqui termina la transcripción.

En conclusión, la intuición ocupa un lugar esencial en la pedagogía matemática, ya que promueve una comprensión más completa y conectada de los conceptos abstractos. Al brindar a los estudiantes la oportunidad de explorar, cuestionar y relacionar las matemáticas con su entorno y experiencias personales, se fomenta un aprendizaje enriquecedor y duradero. La intuición no solo sirve como un medio para hacer que las matemáticas sean accesibles y relevantes, sino que también empodera a los estudiantes para abordar problemas con creatividad y confianza. Al nutrir la intuición matemática, los educadores no solo están formando a futuros matemáticos y científicos, sino también a individuos capaces de aplicar el pensamiento crítico y analítico en diversos aspectos de la vida. En última instancia, la integración cuidadosa de la intuición en la pedagogía matemática es un paso crucial hacia la formación de mentes que puedan abrazar el mundo de las matemáticas con aprecio y destreza. En este contexto, es importante destacar que la integración de la intuición en la pedagogía matemática no implica en modo alguno un compromiso con el rigor matemático. Más bien, la intuición y el rigor son dos aspectos complementarios que juntos enriquecen el proceso de aprendizaje. La combinación de intuición y rigor permite a los estudiantes desarrollar una visión completa de las matemáticas. La intuición sirve como un punto de partida que hace que los conceptos sean accesibles y comprensibles, mientras que el rigor asegura que esta comprensión esté respaldada por argumentos lógicos y sólidas demostraciones. La ense?anza que integra tanto la intuición como el rigor fomenta habilidades de pensamiento crítico y analítico, ya que los estudiantes no solo aprenden a "sentir" los conceptos, sino también a justificar y comunicar sus ideas de manera precisa y coherente.

En última instancia, la relación entre la intuición y el rigor en la pedagogía matemática ofrece a los estudiantes una experiencia educativa completa, equilibrada y enriquecedora. Les permite explorar la belleza y la aplicabilidad de las matemáticas desde múltiples perspectivas, preparándolos para un compromiso más profundo con el mundo de las matemáticas y, en última instancia, con la búsqueda del conocimiento en general.