Gauss, Abel, álgebra y topología.

En artículos anteriores debatimos sobre sobre cómo la intuición y el rigor son aspectos fundamentales en el aprendizaje matemático. Antes de mostrar una elegante demostración topológica del teorema fundamental del álgebra, iremos más a fondo sobre este tema a partir de parte de la transcripción del libro "Abel. El desarrollo de las funciones elípticas", editorial RBA, escrito por Jose María Almira y José ángel Cid Araújo.

Aquí comienza la transcripción. Seremos lo más fieles al texto posible.

[...] Los historiadores de la matemática están convencidos de que si los matemáticos del momento se hubieran aferrado al rigor, negándose a producir un solo resultado cuya prueba no estuviera completamente libre de dudas, prístina, se habría producido de forma necesaria un importante estancamiento en el desarrollo del análisis.

Esto quedó expresado de manera muy clara por la matemática estadounidense Judith Victor Grabiner (n. 1938) cuando, en un artículo de 1974 publicado en The American Mathematical Monthly, resta de la Asociación Matemática Estadounidense, que llevaba el sorprendente título ??Depende del tiempo la verdad matemática??, afirmaba:

Todos los matemáticos conocen numerosos resultados de las matemáticas del siglo XVII, resultados que llevan asociados los nombres de Leibniz, Bernoulli, L'H?pital, Taylor, Euler y Laplace. Pero la probabilidad de que estos se obtuvieran en sus orígenes de un modo absolutamente distinto de la forma en la que se demuestran en la actualidad es muy elevada. Resulta dudoso que Euler y sus contemporáneos hubieran podido deducir sus resultados si se hubieran tenido que constre?ir a nuestros estándares de rigor.

Para la autora, experta en las matemáticas de los siglos XVIII y XIX, estaba claro que en el siglo XVIII los matemáticos se obsesionaron con la búsqueda de nuevos resultados, aunque para alcanzarlos tuvieran que dejar de lado algunas cuestiones relacionadas con el rigor:

Para los matemáticos del siglo XVIII, el fin justificaba los medios. Y hubo numerosos éxitos. Aparecieron nuevas disciplinas, cada cual con sus propios métodos y su propio dominio de resultados: el cálculo de variaciones, la geometría descriptiva y las ecuaciones en derivadas parciales, por ejemplo. Además, se logró una mayor sofisticación en materias ya existentes, como la física matemática y la teoría de la probabilidad.

[...]

Aquí termina la transcripción.

Podemos apreciar el papel importante que jugó la intuición durante esos siglos de desarrollo mamemático. Si los matemáticos de la época se hubieran atenido a buscar explicaciones rigurosas a los numeros complejos, series divergentes, funciones, entre otros entes, seguramente la evolución de las matemáticas hubiese sufrido un alto en su continuidad.

Para ilustrar lo dicho anteriormente, mostraremos una demostración elegante, simple e intuitiva del teorema fundamental del álgebra transcripta del mismo libro. Este teorema establece que todo polinomio no constante con coeficientes complejos tiene al menos una raíz compleja. En otras palabras, cualquier polinomio de la forma:

P(z)=a?z?+a???z??1+…+a?z+a?

donde a?, a???,…,a?,a? son coeficientes complejos y n es un entero positivo, tiene al menos una solución en números complejos z que hace que P(z)=0. Este teorema es fundamental en el ámbito del álgebra y el análisis complejo, ya que garantiza la existencia de raíces complejas para cualquier polinomio no constante con coeficientes complejos.

Aquí comienza nuevamente la transcripción.

Una demostración topológica del teorema fundamental del álgebra.

Gauss probó que todo polinomio de grado n>=1 se anula en algún punto, resultado que recibió el nombre de ?teorema fundamental del álgebra?. La siguiente demostración está basada en una idea topológica sencilla pero muy poderosa, el ?número de vueltas?:

• si γ(θ), θ ∈ [0,2π] (es decir, si la función γ depende de un ángulo θ tal que puede tomar un valor comprendido entre 0 y 2π) es una curva cerrada en el plano que no pasa por el origen y φ??θ? es una elección continua del argumento (esto es, el ángulo) de γ, entonces el número de vueltas que da γ alrededor del origen es:

w(γ) = (φ??2π? - φ??0?) / 2π

Por ejemplo, si γ(θ)=(x?, y?) =/ (0,0) es constante, entonces φ??2π?=φ??0? y, por tanto, w(γ)=0. Por otro lado, si γ(θ)=exp(nθi), entonces se puede tomar φ??θ?=nθ y así w(γ)=n. La principal propiedad del número de vueltas es que permanece invariante por homotopía, es decir, si la curva γ?(θ) es deformada de forma continua en otra curva γ?(θ) sin pasar en ningún momento por el origen entonces w(γ?)=w(γ?).

La demostración del teorema

A partir de un polinomio con coeficientes complejos P(z) de grado n>=1 y sin ninguna raíz es posible deformar continuamente una curva constante γ?(θ) en la curva γ?(θ)=exp(nθi) y llegar así a la contradicción 0=w(γ?)=w(γ?)=(n>=1). Esto prueba que todo polinomio complejo P(z) de grado n>=1 debe tener alguna raíz, que es precisamente el enunciado del teorema fundamental del álgebra.

Aquí termina la transcripción.

Podemos apreciar, de manera intuitiva, simple, elegante y con poderosas ideas asbstractas como puede demostrarse un teorema como el antes mencionado. Es importante destacar que la intuición en matemáticas no es infalible y puede llevar a conjeturas incorrectas. Sin embargo, a través del proceso de validación rigurosa y demostración, los matemáticos pueden transformar intuiciones en resultados matemáticos sólidos y verificables. En resumen, la intuición y la lógica se complementan en las matemáticas, permitiendo un equilibrio entre la exploración creativa y la fundamentación rigurosa.

Referencias

• Abel. El desarrollo de las funciones elípticas. Editorial RBA